Longitud de arco

Los arcos en una circunferencia, pueden definirse y clasificarse para ser estudiados en:

AC1. Arco de un ángulo central.
AC2. Arco de un ángulo inscrito.
AC3. Arco de un ángulo semiinscrito.
AC4. Arcos de ángulos excéntricos.
AC5. Arcos de un ángulo exterior.

Iniciemos nuestros temas con:

AC1. Arco de un ángulo central.

Este concepto esta ligado al concepto del perimetro de la circunferencia, que desde la educación primaria se nos ha dicho que su fórmula es el producto del doble del pi por el radio de la circunferencia.

En temas anteriores ya habíamos establecido que una circunferencia tiene 360° y es equivalente a 6.2832 radianes (dos pi); luego entonces dos pi es un ángulo.
Por lo que el perimetro de la circunferencia es la longitud de arco de la circunferencia completa.

El concepto de longitud de arco es muy sencillo; un arco, es un segmento de circunferencia.
La construcción geométrica de este segmento es quien revela los factores que se deben considerar en la modelación del calculo de la longuitud de arco.

observa el siguiente video:

los puntos C y D, marcan el inicio y final  del segmento de circunferencia, cuya longitud es d; si C y D inician su ciclo en la misma Posición, de coordenadas rectangulares C(5, 0) y D(5, 0), es esta posición inicial no existe longitu de arco, es decir d=0.
Asignemos movimiento al punto C, con otras palabras diríamos, si el punto C cambia de posición conforme pasa el tiempo. Puede observarse que no solo cambia la posición de C, también cambia el arco central llamado alpha y con ello cambia también la longitud de arco d.

La longitud de arco d es una variable que puede definirse en función de la amplitud del angulo central medido en radianes multiplicado por el radio r del arco

Y se lee como: La longitud de arco entre los puntos CD, es igual al producto de la amplitud del ángulo central medido en radianes por el radio del arco de circunferencia.

Desarrollemos un ejemplo numérico. que nos permita contestar de manera asertiva la pregunta: considerando un radio de 5 unidades , ¿Que distancia habra recorrido el punto C, cuando el ángulo central alcanzó una amplitud de 63.14°?

Argumentación de la solución.

Puedes comprobar este resultado corriendo nuevamente el video, pero cuando llegues a los 63.14°, detenlo. verás que en ese instante la longitud de arco d es de 5.51 unidades.

Actividad  AC1 longitud de arco

Existen muchas situaciones contextuales donde se aplica esta teoría de longitud de arco, que nosotros la veremos en calculo de perímetros y áreas de figuras irregulares.

Por ejemplo: Calcule el perimetro de la figura mostrada como PM1. Argumente adecuadamente cada una de sus respuestas.

Figura PM1, referente al caculo del perimetro de una figura irregular.

 para ver la propuesta de solución argumentada, busca en el grupo G yT40, de facebook el documento bajo el título: SOLUCIÓN AL PROBLEMA MODELO 1.

AC2. Longitud de arco de un ángulo inscrito.

Este proviene de un ángulo formado por dos cuerdas, que nacen de un mismo vértice. Observa con atención cómo se comporta el ángulo inscrito:

Puede verse que la circunferencia se ha dividido en dos arcos: el arco DC y el arco CD, en este caso, nos interesa la longitud de arco DC. para ello, el ángulo CBD, se mantiene constante durante todo el recorrido del arco CD. Tambien se ha de observar que: el doble del ángulo inscrito, es el ángulo central.

Los otros tres casos se pueden apreciar en la imagen. (de un click sobre ella para ampliarla).

Actividad: Ac 2 Práctica