PM3.1 PROGRESION 1

ACTIVIDAD 3.1.1 Lee con con atencion la historia del calculo, toma nota de Nombre, año en que señala el evento, la contrubucion al calculo, de los personajes que se te presentan.

Al terminar la lectura: presenta a tu profesor los siguientes trabajos:

PM3.1.1 Infografia por personaje. En media hoja tamaño rotafolio elebora una infografia de uno de los personajes que historicamente hicieron aportaciones al calculo. Preentala a tu profesor y una vez aprobada integra una galeria en tu aula.

PM3.1.2 Construye una linea de tiempo se indica en este apartado.

Genera intuición sobre conceptos como variación promedio, variación instantánea, procesos infinitos y movimiento a través de la revisión de las contribuciones que desde la filosofía y la matemática hicieron algunas y algunos personajes históricos en la construcción de ideas centrales para el origen del cálculo.

1.1.0 ANTECEDENTES DEL CALCULO

El cálculo es una disciplina que ha desempeñado un papel de suma importancia en el desarrollo de la ciencia y la tecnología. Sirve como un conjunto de elementos que permiten comprender y modelar fenómenos dinámicos y variables.

En este módulo analizaremos un poco de la historia del cálculo, explorando los fundamentos y personajes principales que nos llevaron a su concepción y evaluación a lo largo del tiempo. Asimismo, mencionaremos los procesos infinitos, que son un concepto central en el cálculo, pues nos permiten explorar la noción de límites y convergencia, y de esta manera poder comenzar a comprender cómo funcionan las magnitudes que se aproximan infinitamente. Después, el análisis de la continuidad y la sucesión infinita nos permitirán comprender ideas fundamentales que sustentan el concepto del cálculo. En este sentido, conocer y comprender sobre la variación, ya sea en promedio o instantánea, es sumamente importante para desarrollar la comprensión del cambio en el tiempo, así como explorar las herramientas que el cálculo nos proporciona para cuantificar y entender el movimiento de partículas o la precisión de la trayectoria y velocidad de objetos en movimiento.

Nuestro propósito es construir un puente entre la historia del cálculo y su relevancia contemporánea (véase figura 1.2), reconociendo su importancia en la comprensión y descripción de fenómenos dinámicos del mundo en el que vivimos.

En sus comienzos el cálculo fue desarrollado para estudiar cuatro problemas científicos y matemáticos: 

• Encontrar la tangente a una curva en un punto.

• Encontrar el valor máximo o mínimo de una cantidad.

• Encontrar la longitud de una curva, el área de una región y el volumen de un sólido.

• Dada una fórmula de la distancia recorrida por un cuerpo en cualquier tiempo conocido, encontrar la velocidad y la aceleración del cuerpo en cualquier instante. Recíprocamente, dada una fórmula en la que se especifique la aceleración o la velocidad en cualquier instante, encontrar la distancia recorrida por el cuerpo en un período de tiempo conocido.

1.2.0 HISTORIA DEL CALCULO

Para trabajar con el cálculo es importante conocer un poco de sus inicios, cómo es que diferentes matemáticos y pensadores brillantes hicieron colaboraciones resolviendo diversos problemas con cierto grado de complejidad, con procedimientos que hoy en día siguen siendo utilizados para resolver dinámicas y situaciones aplicables a las necesidades de la actualidad. Como en cualquier temática, conocer un poco de los antecedentes del cálculo puede generar el interés de algunos por conocer más sobre el mundo de las matemáticas y más específicamente del cálculo y sus aplicaciones.
Para iniciar, debemos remontarnos a unos cuantos miles de años atrás. El cálculo, tal como lo entendemos en la actualidad, comenzó a tomar forma en la antigua Grecia, con las cuadraturas de polígonos. Las cuadraturas se refieren al problema de calcular el área de una figura plana, una construcción que debía hacerse utilizando una regla no cuadrada y un compás. La cuadratura del círculo, la duplicación del cubo, la trisección de un ángulo y la inscripción de polígonos regulares en una circunferencia son algunos ejemplos de los problemas resueltos por diversos matemáticos de la época antigua. La historia de las cuadraturas y el cálculo se remonta a la antigua Grecia, donde matemáticos como Tales de Mileto, Pitágoras, Arquímedes y Eudoxo hicieron importantes contribuciones en este campo.
Las contribuciones de estos matemáticos griegos sentaron las bases para el posterior desarro110 del cálculo y la teoría de cuadraturas en la matemática moderna. Los conceptos de límites, sumas infinitas y aproximaciones infinitesimales, que eran fundamentales en sus trabajos, fueron esenciales para la formulación del cálculo integral y diferencial por matemáticos posteriores. Estos avances en matemáticas griegas han tenido una repercusión duradera en la ciencia y la ingeniería modernas.
El siglo XVII fue un periodo importante tanto para la historia de las matemáticas como de la física. Las importantes aportaciones generadas en el campo del cálculo, específicamente en la descripción y el análisis de curvas y tangentes. En este periodo destacan las aportaciones de René Descartes, Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz.

fig:3.1.1

René Descartes

Iniciaremos hablando de René Descartes (véase figura 3.1.1), filósofo, matemático y científico francés desempeñó un papel fundamental en la creación de la geometría analítica. En su obra La geometría introdujo un sistema de coordenadas cartesianas, permitiendo representar puntos en un plano mediante pares coordenados de números, 

Su contribución más significativa a la descripción de curvas fue la habilidad de expresar ecuaciones algebraicas para representar formas geométricas. Demostró cómo utilizar las ecuaciones para representar círculos, elipses y otras curvas. También, a él le debemos el concepto de tangente de una curva en un punto dado. Este método consiste en calcular la pendiente de una recta que toca a una curva en este punto y se aproxima a ella.

Isaac Newton

Newton fue un matemático, físico y astrónomo inglés, quien hizo contribuciones fundamentales al cálculo y a la comprensión de las curvas y las tangentes. Desarrolló el "método de las diferencias", que fue una forma inicial del cálculo. Este método servía para aproximar las tangentes a una curva, trabajando con diferencias finitas entre los valores de una función, para estimar la pendiente de la tangente en un punto.

Asimismo, creó el concepto fundamental de la derivada, nada más y nada menos que una de las herramientas más importantes del cálculo, utilizada para encontrar la pendiente de la tangente en cualquier punto de una curva. En su libro Principios matemáticos de la filosofía natural presentó sus leyes del movimiento y la ley de la gravitación universal, que requerían cálculos de derivadas para su formulación y comprensión. Isaac Newton enfocó sus esfuerzos en la física y utilizó el cálculo para describir el movimiento y la gravitación (véase figura 3.1.1).

Gottfried Wilhelm Leibniz

Fue un matemático, filósofo y científico alemán (véase figura 3.1.1). Es conocido por ser uno de los inventores independientes del cálculo. La contribución más destacada de Leibniz fue el desarrollo de una notación diferencial que facilitaba la escritura y comprensión de conceptos clave. Introdujo la notación del diferencial dy y dx, usada tanto en el cálculo diferencial como en el integral. Esta notación también simplificó la representación y las manipulaciones de cantidades infinitesimales. Formuló reglas de cálculo, como la regla de la cadena y la regla del producto, que permitían realizar cálculos más eficientes y precisos.

La rivalidad histórica entre Leibniz y Newton sobre quién había inventado el cálculo primero fue objeto de controversia en su época. Hoy en día, se reconoce que ambos matemáticos realizaron contribuciones independientes y valiosas al cálculo.

Estos matemáticos prepararon el camino para el desarrollo posterior del cálculo y la geometría analítica. Sus metodologías, definiciones y notaciones son las bases de la matemática moderna y la física, y éstas siguen siendo fundamentales en la descripción y el análisis de curvas y tangentes en la actualidad.

 Durante el siglo XVIII también hubo importantes contribuciones que ayudaron a avanzar en la teoría y la aplicación del cálculo, lo que resultó en numerosos avances científicos y tecnológicos en aquel siglo y los posteriores. Algunos de los matemáticos que destacan de esa época son: Leonhard Eider, Joseph-Louis Lagrange y el marqués de Condorcet.

fig. 3.1.2

Leonhard Euler

Introdujo la notación de función que es utilizada aún en la actualidad, al usar f(x) para denotar una función de una variable x. Esta notación se convirtió en estándar y simplificó la escritura y comprensión de las funciones. Además, estudió las funciones exponenciales y logarítmicas a profundidad; asimismo, demostró que las funciones exponenciales complejas se pueden expresar en términos de senos y cosenos, un resultado importante para el análisis y la teoría de números. Es considerado como uno de los matemáticos más influyentes de la historia (véase figura 3.1.2).

Joseph-Louis Lagrange

Matemático y físico italiano-francés que reformuló las leyes del movimiento de Newton usando cálculo variacional. También, planteó varios teoremas matemáticos importantes que se utilizan en el cálculo; por ejemplo, el teorema de los valores extremos, que es fundamental en el análisis y la optimización. Actualmente sus métodos y teoremas siguen siendo estudiados y aplicados en una extensa gama de disciplinas científicas y técnicas.

Marqués de Condorcet

Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat, también conocido como marqués de Condorcet, fue un matemático, filósofo y político francés Tuvo contribuciones en el área de límites y continuidad, y estudió el concepto de límites y las propiedades de las funciones continuas, las cuales son fundamentales en el cálculo. Además, contribuyó al desarrollo de la teoría de funciones. Tenía interés en el análisis infinitesimal e investigó las aproximaciones numéricas y las series infinitas. Sus contribuciones en estos campos no fueron tan influyentes como las de Euler o Lagrange, pero ayudaron al conocimiento y el desarrollo de técnicas de aproximación y expansión de funciones mediante series.
En el siglo XIX se destaca la participación y contribuciones de Agustín Louis Cauchy y Karl Weierstrass (véanse figuras 3.1.2). Ellos fueron dos matemáticos que realizaron importantes contribuciones al campo del cálculo y el análisis matemático. Sus trabajos revolucionaron la forma en que se comprenden y se ensenan estos temas.

fig 3.1.3

Augustin Louis Cauchy

Cauchy (ver fig 3.1.3) fue uno de los primeros matemáticos en establecer una base sólida para el análisis matemático. Introdujo definiciones precisas de conceptos fundamentales como límite, continuidad y derivación. Sus definiciones establecieron las bases para comprender las ideas fundamentales del cálculo, como la convergencia de secuencias y series. Cauchy trabajó en la teoría de series y fue uno de los primeros en desarrollar la noción de una serie de Taylor, que es una expansión en serie de una función en términos de sus derivadas en un punto dado, concepto que es esencial para entender la aproximación de funciones mediante polinomios.

Karl Weierstrass

Weierstrass (ver fig 3.1.3) fue fundamental en la formulación de definiciones precisas de límites y continuidad que son ampliamente aceptadas en la actualidad. Sus definiciones ayudaron a eliminar ambigüedades y aclarar conceptos fundamentales. Demostró un resultado importante conocido como el Teorema de Weierstrass, que establece que toda función continua en un intervalo cerrado es acotada y alcanza sus valores máximos y mínimos en ese intervalo. Introdujo una función continua pero no diferenciable en ningún punto, conocida como la "función de Weierstrass». También trabajó en la aproximación de funciones mediante polinomios.

En resumen, tanto Cauchy como Weierstrass jugaron roles fundamentales en el desarrollo del análisis matemático en el siglo XIX. Sus contribuciones en la formulación de definiciones precisas, teoremas importantes y la profundización en el estudio de funciones continuas y derivables han tenido un efecto duradero en las matemáticas.

Durante el siglo xx, el cálculo continuó evolucionando con el desarrollo de la teoría de funciones, el análisis funcional y la teoría de la medida. También se introdujeron conceptos más avanzados, como el cálculo vectorial, el cálculo tensorial y el cálculo de variaciones, y se convirtió en parte fundamental de la informática.

El cálculo es una parte integral de muchas disciplinas, incluyendo matemáticas, física, ingeniería, economía y ciencias de la computación. Las contribuciones de los matemáticos a lo largo de la historia han permitido un profundo entendimiento de las relaciones entre cantidades variables y la resolución de una amplia gama de problemas prácticos y teóricos.

Actividades escolares:

Descarga la actividad 3.1.3 El legado de mi herencia matematica

Descargar la Rubrica para evaluar la linea de Tiempo

Descargar Chec List de Materiales del Taller de Galeria Historica.